课程/章节名称 · 副标题
主讲教师：张老师
某某学校 · 某年级
本章节是微积分的核心基础，极限思想贯穿始终。建议课后结合导数与积分的对偶关系进行对比学习，加深理解。
通过生活实例、问题或故事引出新知
周末小明和妈妈去商场购物，看到一件原价 ¥320 的外套打 7.5折 促销， 妈妈想知道实际需要支付多少钱？小明说：“可以用 百分数 来计算！”
🤔 如果商场还有 满200减30 活动，哪种方式更划算？
📝 你能用 百分数 解释“折扣”和“优惠”的区别吗？
🧠 生活中还有哪些地方用到了百分数？（调查、统计、利率...）
如何用 百分数 描述生活中的数量关系？
百分数与分数、小数之间如何 相互转化？
这是本课程的第一个核心知识点，它构成了后续所有内容的基础。 理解这一概念对于掌握整个知识体系至关重要。请注意以下关键要点：
本知识点是后续所有内容的基础前提，必须熟练掌握。
设函数 y = f(u) 的定义域为 D_f， 函数 u = g(x) 的值域为 R_g， 且 R_g ⊆ D_f，则称 y = f(g(x)) 为 复合函数。
内层与外层单调性相同时复合函数递增，相异时递减
外层为偶函数时复合函数为偶函数；外层为奇函数时取决于内层
复合函数的定义域是内层函数定义域中使 g(x) ∈ D_f 的 x 的集合
复合函数求导遵循链式法则： (f∘g)'(x) = f'(g(x))·g'(x)
已知 f(u)=√u，g(x)=x²-1，求复合函数
→ f(g(x)) = √(x²-1)第三个核心知识 · 双栏图文布局
第三个核心知识是本节课的重点内容，通过双栏图文布局清晰呈现知识结构与逻辑关系，帮助学生快速理解与掌握。
—— 核心公式表达
本节知识点在考试中常以综合题形式出现，需要掌握公式的推导过程及其实际应用场景。
函数的极值反映了函数在局部范围内的最值特性。通过分析函数的一阶导数符号变化，可以精确判定极值点的位置与类型。极值理论是导数应用的核心基石，在优化问题、物理建模等领域具有广泛的应用价值。
f′(x₀) = 0 是 必要条件 而非充分条件。 反例：f(x) = x³ 在 x = 0 处导数为零，但该点为拐点而非极值点。 务必结合二阶导数或左右导数符号进行综合判断。
本节课我们系统学习了函数极值的两种判定方法：一阶导数判据 通过符号变化判断极值点， 二阶导数判据 通过曲率方向确定极值类型。 核心思想：导数为零是线索，符号变化定乾坤。
勾股定理逆定理
如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a² + b² = c²， 那么这个三角形是直角三角形。
函数图像分析
（图表占位）
趋势分析： 3月、4月、6月为销售高峰期，环比增长显著；2月为低谷。建议加强淡季营销策略。
流程要点： 数据校验为关键节点，通过后可进入可视化环节，否则需回溯至数据采集阶段重新处理。
对比左侧统计图中各月销售趋势与右侧数据分析流程，思考：哪些月份需要启动“数据校验→回溯”机制？ 结合流程图中的关键节点，讨论如何优化数据采集策略以提升整体分析效率。
已知函数 f(x) = x³ - 3x² + 2，求：
利用导数研究函数性质：先求导 → 解导数为零 → 列表分析单调性 → 判断极值 → 计算端点值确定最值。
| 区间 | (−∞, 0) | (0, 2) | (2, +∞) |
|---|---|---|---|
| f′(x) 符号 | + | − | + |
| 单调性 | ↗ 递增 | ↘ 递减 | ↗ 递增 |
利用导数研究函数性质是高考高频考点，核心步骤：求导→解方程→列表分析。注意极值与最值的区别，以及端点值的比较。
函数 f(x) = 2x³ - 3x² + 1 的极大值点为 ，极小值为 。
已知 ∫₀¹ (ax² + b) dx = 2 ，且 a + b = 3 ，则 a = ，b = 。
函数 f(x) = x³ - 3x 在区间 [-2, 2] 上的最大值为（ ）
曲线 y = ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为（ ）
下列函数中，在 (0, +∞) 上单调递增的是（ ）
① 求 f′(x)，解方程 f′(x) = 0；
② 判断 f′(x) 在零点左右的符号：
• 左正右负 → 极大值
• 左负右正 → 极小值
③ 代入原函数求极值。
总结本节要点 · 巩固知识体系
掌握本节的核心定义与基本原理，理解知识的内在逻辑
理解重要公式的推导过程，掌握定理的适用条件与变形
掌握典型解题方法，学会将知识灵活应用于实际问题
分层巩固 · 拓展提升
基础巩固 · 全体完成
已知函数 f(x) = x² + 2x + 1，求 f(3) 的值。
f(3) = 3² + 2×3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
计算下列各式的值：
已知一个长方形的长为 a+3，宽为 a-2，求其面积表达式。
拓展提升 · 挑战自我
若 x + 1/x = 3，求 x² + 1/x² 的值。
观察下列数列规律，写出第 n 项的表达式：
已知二次函数 y = x² - 4x + 3，求：
(1) 顶点坐标与对称轴方程；
(2) 与 x 轴的交点坐标；
(3) 画出函数的大致图像。
知识如光，照亮前行的路
愿每一次思考都让智慧生根发芽
学而不已 · 未来可期